원과 타원

원이 기울면 타원이 된다

동전을 눈앞에 똑바로 세워 들면 동그랗다. 동전을 천천히 눕히면 위아래가 눌리기 시작해, 완전히 눕혀 눈높이에 두면 가는 선이 된다. 그 사이의 모든 모양이 타원(Ellipse)이다. 타원에서 가장 긴 지름을 장축(Major axis), 그와 직각인 가장 짧은 지름을 단축(Minor axis)이라고 한다. 기운 원에서 장축의 길이는 원의 지름 그대로이고, 줄어드는 것은 단축뿐이다.

아래 왼쪽은 옆에서 본 모습이다. 눈과 접시를 잇는 시선이 접시 면과 이루는 각을 보는 각(Viewing angle)이라고 부르자. 화면을 위아래로 끌어 보는 각을 바꿔 본다.

눈이 원을 바로 위에서 보면(α = 90°) 원은 원으로, 비스듬히 보면 타원으로, 원의 평면과 같은 높이에서 보면 선으로 보인다. 단축이 줄어드는 비율은 보는 각만으로 정해진다.

타원을 각도로 부르면 좋은 점이 있다. "조금 납작하게"는 사람마다 다르지만 "30° 타원"은 누구에게나 같다. 그리고 각도는 눈과 물체의 자리에서 계산하거나, 실제로 보고 재어 정할 수 있다. 다음 절에서 그 각도가 어떻게 바뀌는지 본다.

눈높이에서 멀수록 둥글어진다

원통 모양의 물체에는 같은 크기의 원이 여러 높이로 쌓여 있다. 컵의 입구와 바닥, 기둥의 위아래, 화분의 테두리가 그렇다. 이 원들은 크기가 같아도 그림에서는 같은 타원이 아니다. 눈높이에 있는 원은 시선이 원의 평면을 스치므로(α = 0°) 선이 되고, 눈높이에서 아래로 멀어질수록 더 위에서 내려다보게 되어(α가 커져) 둥글어진다. 눈높이보다 위에 있는 원은 아래에서 올려다보므로 밑면이 보이는 타원이 된다. 4장에서 본 눈높이(수평선)가 여기서도 기준선이다.

아래 투명한 원통에는 30 cm마다 고리가 있다. 화면을 위아래로 끌어 눈높이를 옮겨 본다.

원통 하나에서도 위아래 타원의 폭이 다르다는 것, 이것이 이 장에서 가장 중요한 관찰이다. 눈높이 아래에 놓인 컵이라면 바닥은 입구보다 언제나 조금 더 둥글다. 컵이 작고 멀리 있으면 그 차이가 작고, 크고 가까우면 차이가 크다. 그림을 보는 사람은 이 차이를 의식하지 못해도, 차이가 없거나 거꾸로 되면 물체가 앞으로 기울거나 떠 보인다고 느낀다.

원통과 컵: 옆선은 타원의 끝에 닿는다

원통을 그릴 때는 위아래 두 타원을 먼저 정하고, 그 양 끝을 옆선으로 잇는다. 이때 옆선은 타원의 장축 끝, 곧 타원이 가장 넓어지는 지점에 닿는다. 옆선이 타원의 끝보다 안쪽이나 바깥쪽에서 출발하면 원통이 비틀리거나 모서리가 생긴 것처럼 보인다. 그리고 바닥 타원은 아래쪽 반만 보이고, 위쪽 반은 원통 몸통에 가려진다. 그래도 연습할 때는 보이지 않는 뒤쪽 반까지 연하게 그리는 것이 좋다. 타원 전체를 그려야 앞쪽 반의 곡선이 바르게 나오기 때문이다(7장에서 이것을 "투시해서 그리기"로 다시 본다).

뾰족한 끝은 왜 생길까. 타원을 "위 곡선 하나, 아래 곡선 하나"로 나눠 그리면 두 곡선이 만나는 곳에 꺾임이 생긴다. 실제 타원의 양 끝은 가장 급하게 휘는 곳이지만 꺾이지 않고 둥글게 돈다. 납작한 타원일수록 끝이 좁아져 뾰족해 보이기 쉬운데, 아무리 납작해도 끝은 작은 반원처럼 둥글다. 그래서 타원은 끊지 않고 한 번에 돌려 그리는 연습을 한다.

단축은 회전축을 따른다: 바퀴와 간판

지금까지의 원은 모두 바닥과 나란히 누워 있었고, 타원의 장축은 수평이었다. 자전거 바퀴, 시계, 벽에서 튀어나온 둥근 간판처럼 세워진 원은 사정이 다르다. 이때 타원의 방향을 정하는 규칙은 하나다. 타원의 단축은 그 원의 회전축(원의 중심을 지나 원의 면에 수직인 선)을 따라 놓인다. 바퀴라면 축(차축)이 회전축이다. 누운 원의 회전축은 세로선이라서 단축이 세로였던 것이다.

아래에서 바퀴를 돌리고 눈높이를 바꿔 본다. 회색 점선은 바퀴의 축을 그림 위에 연장한 것이고, 붉은 선은 그림에서 잰 타원의 단축이다. "둥근 간판"은 5장에서 정한 서점 외관의 시점에서, 2층 정면 벽에 수직으로 달린 지름 80 cm 돌출 간판을 본 모습이다.

"단축은 축을 따른다"는 규칙은 엄밀히는 정사영 근사에서 정확하고, 실제 원근에서는 축선과 단축이 아주 조금 어긋난다. 그러나 그 어긋남은 바퀴가 아주 가깝지 않으면 몇 도 이내로, 손으로 그리는 선의 오차와 비슷하거나 작다. 그래서 실전에서는 이렇게 한다. 먼저 바퀴의 축 방향을 소실점으로 정해 축선을 긋는다. 그다음 축선과 직각으로 장축을 긋고, 그 위에 타원을 돌린다. 자전거 두 바퀴의 축은 나란하므로 두 바퀴의 단축도 같은 소실점을 향한다. 앞바퀴를 꺾으면 앞바퀴의 축만 다른 소실점으로 돌아간다.

정사각형 안의 원: 투시 속의 중심

투시도 안에 원을 정확히 넣는 가장 오래된 방법은 원을 정사각형 안에 넣는 것이다. 원은 자기를 둘러싼 정사각형의 네 변 가운데에 닿는다. 투시로 그린 정사각형에서 두 대각선을 그어 중심을 찾고, 그 중심을 지나 두 변과 나란한 선(각자의 소실점을 향한다)을 그으면 네 접점이 나온다. 여기에 대각선 위의 네 점을 더하면 8점이 된다. 대각선 위의 점은 정사각형 반변을 대략 3 : 7로 나눈 자리에서 변과 나란히 그은 선이 대각선과 만나는 곳이다(정확히는 1 − 1/√2 ≈ 0.29 : 0.71).

시뮬레이터에서 본 어긋남은 중요한 교훈을 준다. 정사각형의 중심은 투시에서 정확하지만, 타원을 그 중심에 맞춰 위아래로 똑같이 그리면 틀린다. 투시 속 원은 앞쪽 반이 뒤쪽 반보다 조금 크다. 실전에서는 이렇게 생각하면 된다. 타원을 대칭으로 그리되, 그 타원은 정사각형의 대각선 교점보다 조금 앞으로 내려 와 있다. 가까이 있는 큰 원일수록 이 차이를 신경 쓰고, 멀리 있는 작은 원은 무시해도 된다.

내 타원 진단하기

타원은 머리로 알아도 손이 따라오기 어렵다. 아래 판에 마우스나 손가락으로 타원을 한 번에 돌려 그려 본다. 다 그리면 판이 그 선에 가장 가까운 타원을 찾아 겹쳐 그리고, 끝 모양과 대칭을 진단한다. 처음에는 끝이 뾰족한 예시 선이 그려져 있다.

진단 결과가 "뾰족함"이라면 끝에서 속도를 줄이지 말고 오히려 일정한 속도로 돌려 본다. 사람들은 대개 끝에서 방향을 바꾸느라 멈칫하는데, 그 멈칫함이 꺾임이 된다. "뭉툭함"이라면 긴 변을 직선처럼 끌다가 끝에서 급히 도는 것이다. 위아래 곡선이 끝까지 계속 휘고 있다고 생각하며 돌린다. 좌우가 비대칭이라면 장축 기준선을 먼저 긋고, 그 선의 가운데에 단축을 표시한 다음 그 십자에 맞춰 돌리면 나아진다.

작품 속의 타원

폴 세잔(Paul Cézanne)은 정물화에서 사과와 항아리, 컵을 여러 해 동안 반복해 그렸다. 미국의 화가이자 교육자 얼 로런(Erle Loran)은 『세잔의 구성』(Cézanne's Composition, 1943)에서 세잔의 몇몇 정물이 한 그림 안에 여러 눈높이를 섞어 탁자와 그릇을 그렸다고 분석했다. 그런 분석이 모든 그림에 들어맞는 것은 아니다. 아래 그림에서 직접 재어 본다.

아래에서 두 타원의 손잡이를 끌어 그림 위의 입구에 직접 맞춰 본다. 각 타원은 왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 앞쪽(아래) 끝의 세 손잡이로 조정된다. 처음 놓인 타원은 이 책이 큰 사진에서 맞춘 것이다.

타원의 각도는 그림 속 사물의 높이와 거리를 말없이 알려 준다. 세잔의 두 입구가 실제 눈높이 규칙을 따르는 것은 우연이 아닐 수도 있고, 화가의 눈이 저절로 그렇게 본 것일 수도 있다. 반대로 동아시아의 그릇 그림이나 민화의 책가도에서는 그릇 입구를 실제보다 훨씬 둥글게, 위에서 내려다본 듯이 그려 그릇의 무늬와 내용물을 보여 주는 경우가 많다. 한 시점에서 본 정확한 타원과, 사물의 특징을 가장 잘 보여 주는 타원 가운데 무엇을 고를지는 그림이 전하려는 것에 달렸다. 다만 그 선택이 실수가 아니라 선택이 되려면, 먼저 정확한 타원을 그릴 줄 알아야 한다.

창가 정물의 타원 정하기

마지막 시뮬레이터는 탁자 위의 컵과 화분을 놓고 이 장의 규칙을 한 번에 적용한다. 눈높이(탁자 위에서 잰 높이)와 컵까지의 거리를 정하면 컵의 입구와 바닥, 화분의 입구와 바닥의 타원 각도가 계산된다. 화면을 위아래로 끌어도 눈높이가 바뀐다. "흔한 실수"를 켜면 바닥을 입구와 같은 폭으로 그린 그림이 붉게 겹쳐진다.

같은 정물이라도 앉아서 보는지 서서 보는지에 따라 타원 네 개의 각도가 모두 달라진다. 그리고 그 네 각도 사이의 관계(멀고 높은 것이 더 납작하고, 가깝고 낮은 것이 더 둥글다)는 어느 자리에서나 유지된다. 각도를 숫자로 정해 두면 여러 날에 걸쳐 그려도 타원이 흔들리지 않는다.

서윤의 작업 노트